21 50 nuances de TCL
21.1 La version classique
Soit \((X_i)\) une suite de variables aléatoires iid possédant une moyenne \(\mu\) et une variance \(\sigma^2\). On note \(\bar{X}_n\) leur moyenne empirique, \[\bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i. \tag{21.1}\] Sous les hypothèses sur les \(X_i\), il est clair que \(\mathbb{E}[\bar{X}_n] = \mu\), et que \(\mathrm{Var}(\bar{X}_n) = \sigma^2/n\).
Théorème 21.1 La variable aléatoire \[\frac{\bar{X}_n - \mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\] converge en loi vers \(N(0,1)\).
Preuve. Si \(\varphi\) est la transformée de Fourier commune de la loi des \(Y_i = (X_i - \mu)/\sigma\) et \(\psi\) celle de Équation 21.1, alors \[ \psi(t) = \varphi(t/\sqrt{n})^n.\] Comme \(\varphi(x) \sim 1 - x^2/2 + o(x^2)\) par un développement de Taylor près de zéro, on voit que lorsque \(n\to\infty\), alors \(\psi(t) = (1 - t^2 / 2n + o(1/n))^n\) et ceci tend vers \(e^{-t^2/2}\), qui est bien la transformée de Fourier de \(N(0,1)\).
21.2 La version de Lindeberg-Lévy
On supposera maintenant les \(X_i\) indépendantes (mais pas forcément de même loi). On pose \(\bar{\mu} = \mathbb{E}[\bar{X}_n]\) et \(s_n = \mathrm{Var}(\bar{X}_n)\), c’est-à-dire \[\bar{\mu}_n = \frac{\sum_{i=1}^n \mu_i}{n} \] \[\varsigma^2_n = \frac{\sum_{i=1}^n \sigma_i^2}{n^2} \] où \(\mu_i= \mathbb{E}[X_i]\) et \(\sigma_i^2 = \mathrm{Var}(X_i)\).
Théorème 21.2 Si ces variables vérifient la condition de Lindeberg, à savoir que pour tout \(\delta >0\), \[ \frac{1}{\varsigma_n^2}\sum_{i=1}^n \mathbb{E}[|X_i - \mu_i|^2 \mathbf{1}_{|X_i - \mu_i| > \delta \varsigma_n}] \to 0 \tag{21.2}\] alors la variable aléatoire \[ \frac{\bar{X}_n - \bar{\mu}_n}{\varsigma_n}\] converge en loi vers \(N(0,1)\).
21.3 Le théorème de Mann-Wald1
C’est un cas particulier du précédent.
Soient \((x_i)\) une suite de nombres réels, pas forcément aléatoires, et soient \(\varepsilon_i\) des variables aléatoires iid de variance \(\sigma^2\) et vérifiant \(\mathbb{E}[|\varepsilon_i|^4]<c^2\) pour une certaine constante \(c^2\). La moyenne pondérée \[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i \varepsilon_i\] est clairement une variable aléatoire centrée, et sa variance est égale à \[\sigma^2 \frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n} = \frac{\sigma^2 s_n^2}{n}. \] Peut-on dire que la moyenne réduite \[ \sqrt{n}\frac{\sum_{i=1}^n x_i \varepsilon_i}{\sigma s_n} \tag{21.3}\] converge en loi vers une \(N(0,1)\) ? La réponse est oui en général : cependant, en toute rigueur, on faire une hypothèse sur les \(x_i\). On demande à ce que la variance \(s_n^2\) ne soit pas dominée par un petit nombre de \(x_i\): \[\max_{i=1, \dotsc, n} \frac{|x_i|^2}{s_n^2} \to 0. \tag{21.4}\]
Théorème 21.3 Sous les hypothèses précédentes, Équation 21.3 converge en loi lorsque \(n\to\infty\) vers une \(N(0,1)\).
Preuve. La démonstration repose sur Théorème 21.2 appliqué aux \(X_i = x_i \varepsilon_i\) : ces variables sont centrées, et leur variance est \(\sigma^2 x_i^2\). En particulier, \[s_n^2 = \sigma^2 \sum_{i=1}^n x_i^2.\] Le terme \(\mathbb{E}[|X_i|\mathbf{1}_{|X_i|>\delta s_n}]\) vaut \(x_i^2 \mathbb{E}[\varepsilon^2 \mathbf{1}_{|\varepsilon|>\delta s_n / |x_i|}]\). Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz, \(\mathbb{E}[\varepsilon^2 \mathbf{1}_{|\varepsilon|>\delta s_n / |x_i|}]\) est borné par \(\sqrt{\mathbb{E}[\varepsilon^4]\mathbb{P}(|\varepsilon|>\delta s_n / |x_i|)} = \sigma^2 c \sqrt{\mathbb{P}(|\varepsilon|> \delta s_n / |x_i|)}\), qui est également plus petit que \(\sigma^2 c \sqrt{\mathbb{P}(|\varepsilon|>\delta m_n)}\) où \(m_n\) est le plus petit des nombres \(s_n/|x_1|, \dotsc, s_n/|x_n|\), c’est-à-dire l’inverse de la racine carrée de Équation 21.4.
En regroupant tout ceci, on voit que Équation 21.2 devient plus petite que \[\frac{\sigma^2 c}{s_n^2}\sum_{i=1}^n x_i^2\sqrt{\mathbb{P}(|\varepsilon|>\delta m_n)}\] c’est-à-dire \(c\times \sqrt{\mathbb{P}(|\varepsilon|>\delta m_n)}\). Comme \(m_n\to \infty\) par Équation 21.4, ce terme tend vers zéro.
J’ai l’impression que ce nom n’est guère répandu dans la littérature, mais je l’ai trouvé dans le livre Introduction à l’économétrie de Brigitte Dormont. ↩︎