22 Formules d’inversion
22.1 Inversion par blocs
On considère une matrice \(M\) qui s’écrit par blocs de la façon suivante : \[M = \begin{bmatrix}A & B \\ C & D \end{bmatrix} \tag{22.1}\] Les formules de Schur permettent d’écrire l’inverse de la matrice \(M\), s’il existe, en fonction des blocs. Essayons d’inverser la matrice \(M\) par un pivot de Gauss. Si \(D\) est inversible, en multipliant les colonnes des deux blocs à droite par \(-D^{-1}C\) et en les enlevant aux colonnes des blocs de gauche, on arrive à éliminer le bloc \(C\) : \[ \begin{bmatrix}A & B \\ C & D \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}I & 0 \\ -D^{-1}C & I \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}A - BD^{-1}C & B \\ 0 & D\end{bmatrix}. \tag{22.2}\] On voit que le terme \(A - BD^{-1}C\) va jouer un rôle important, puisque s’il est inversible, alors \(M\) le sera aussi.
Définition 22.1 Le complément de Schur est \[ S = A - BD^{-1}C. \]
Continuons le pivot de Gauss. En faisant la même chose pour éliminer le bloc \(B\) par manipulation des lignes, on voit que
\[\begin{bmatrix}I & -BD^{-1} \\ 0 & I \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}S & B \\ 0 & D\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}S& 0 \\ 0 & D\end{bmatrix}.\]
On a donc démontré que \[\begin{bmatrix}I & -BD^{-1} \\ 0 & I \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}A & B \\ C & D\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}I & 0 \\ -D^{-1}C & I \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}S & 0 \\ 0 & D\end{bmatrix}\] L’inverse d’une matrice de la forme \[\begin{bmatrix}I & X \\ 0 & I \end{bmatrix}\] est \[\begin{bmatrix}I & -X \\ 0 & I \end{bmatrix}\] donc on obtient la décomposition \[ M = \begin{bmatrix}I & BD^{-1} \\ 0 & I \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}S & 0 \\ 0 & D\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}I & 0 \\ D^{-1}C & I \end{bmatrix}.\] Enfin, pour inverser \(M\) il suffit d’inverser chacune de ces matrices et d’inverser l’ordre1, donc \[ M^{-1} = \begin{bmatrix}I & 0 \\ -D^{-1}C & I \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}S^{-1} & 0 \\ 0 & D^{-1}\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}I & -BD^{-1} \\ 0 & I \end{bmatrix}.\] En faisant cette multiplication matricielle, on obtient la forme générale de l’inverse d’une matrice par blocs. En regroupant tous ces calculs, on obtient le théorème suivant.
Théorème 22.1 (Théorème d’inversion de Schur) Si \(D\) est inversible et si \(A - BD^{-1}C\) est inversible, alors la matrice \[M = \begin{bmatrix}A & B \\ C & D\end{bmatrix}\] est inversible et son inverse est donné par \[M^{-1} = \begin{bmatrix} (A - BD^{-1}C)^{-1} & -(A - BD^{-1}C)^{-1}BD^{-1} \\ -D^{-1}C(A - BD^{-1}C)^{-1} & D^{-1} + D^{-1}C(A - BD^{-1}C)^{-1}BD^{-1}\end{bmatrix}.\]
En regardant de plus près les identités qui viennent de la démonstration du théorème, on peut tirer beaucoup de choses non triviales. D’abord, la formule Équation 22.2 montre que le rang de \(M\) est égal au rang d’une matrice triangulaire supérieure, qui est lui-même la somme des rangs des blocs diagonaux, et ceci est valable même si \(S\) ou \(M\) ne sont pas inversibles :
\[\mathrm{rang}(M) = \mathrm{rang}(A - BD^{-1}C) + \mathrm{rang}(D).\]
La même formule permet de voir immédiatement que le déterminant de \(M\) se calcule très simplement : \[\det(M) = \det(D)\det(A - BD^{-1}C).\]
22.2 Inversion des perturbations de rang faible
Soit \(A\in \mathbb{R}^{n,n}, B \in \mathbb{R}^{r,r}, X\in\mathbb{R}^{n,r}, Y\in\mathbb{R}^{r,n}\). La matrice \(XBY\) a un rang plus petit que \(r\).
\[(A + XBY)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}X(B^{-1} + YA^{-1}X)^{-1}YA^{-1} \tag{22.3}\]
Par exemple, si \(u,v\) sont deux vecteurs de taille \(n\), cette formule permet de calculer l’inverse de \(A+uv\), qui est une perturbation de rang 1 de la matrice \(A\) : \[ (A + uv^\top)^{-1} = A^{-1} - \frac{1}{1 + \langle v, A^{-1}u\rangle}A^{-1}uv^\top A^{-1}.\]
22.3 Formule de la résolvante
\[ Y^{-1} - X^{-1} = X^{-1}(X-Y)Y^{-1}\]
on rappelle que \((XY)^{-1} = Y^{-1}X^{-1}\).↩︎