$$ \newcommand{\bx}{\boldsymbol{x}} \newcommand{\bt}{\boldsymbol{\theta}} \newcommand{\bmu}{\boldsymbol{\mu}} \newcommand{\dkl}{\mathrm{d}_{\mathrm{KL}}} \newcommand{\dtv}{\mathrm{d}_{\mathrm{TV}}} \newcommand{\emv}{\hat{\theta}_{\mathrm{emv}}} \newcommand{\ent}{\mathrm{Ent}} \newcommand{\tr}{\mathrm{tr}} $$

Exercices

Questions

  • Le Lemme Lemme 20.1 est-il encore vrai lorsque \(F\) n’est pas continue ?
  • Construire un intervalle de confiance asymptotique pour \(F(x)\) lorsque \(x\) est fixé.
  • Démontrer le lemme de Glivenko-Cantelli à la main dans le cas où les \(X_i\) sont des variables iid de Bernoulli.
  • Calculer \(\mathbb{P}(|F_n - F|_\infty > 2)\).

Exercices

Exercice 1 Soient \(U_1, \dotsc, U_n\) des variables iid de loi \(\mathscr{U}[0,1]\). On note \(U_{(1)}, \dotsc, U_{(n)}\) les variables ordonnées.

  1. Montrer que la densité de \(U_{(i)}\) est \[\varrho_k(x) = \mathbf{1}_{x\in [0,1]}k\binom{n}{k}x^{k-1}(1-x)^{n-k}.\] Autrement dit, \(U_{(i)}\) est une loi Bêta de paramètres \((k, n-k+1)\).

  2. On suppose, pour être concret, que \(n=20\). Je choisis secrètement un \(k\) entre 1 et \(n\), et je vous dévoile solennellement que \(U_{(k)}\) vaut environ 0.12. Estimez \(k\).

  3. Calculer les 4 premiers moments de \(U_{(i)}\) (attention, c’est calculatoire). En déduire que \(\mathbb{E}[|U_{(i)}- i/n|] = O(1/n)\).

Exercice 2 Supposons que \(X_1, \dotsc, X_n\) sont des variables iid de loi \(\mathscr{N}(0,1)\).

  1. Montrer que, avec probabilité tendant vers 1 lorsque \(n\to\infty\), on a \(\max_{1\leqslant i\leqslant n} |X_i| \leqslant (1+o(1))\sqrt{2\ln(n)}\). (indice : c’était le dernier exercice du partiel 2026.)

  2. En déduire qu’il y a une constante \(c\) telle que, avec probabilité tendant vers 1 lorsque \(n\to\infty\), on a \(|F_n - F|_\infty \geqslant \frac{c}{n\sqrt{\ln(n)}}\).